Проблем с покупкой страховки и пересечением границы касательно Зеленой карты у вас быть не должно.
Страхователем - лицом, которое покупает Зеленую карту, может быть любое дееспособное лицо и не обязательно ему быть собственником автомобиля.
Управлять автомобилем по Зеленой карте может любое лицо, допущенное к управлению ТС на законном основании (например, доверенность от собственника). Перечня допущенных водителей в Зелёной карте (как в Российском ОСАГО) - нет.
Другое дело, что нотариальную доверенность на автомобиль я бы на вашем месте захватил, чтобы на границе не было проблем с пограничниками или на таможне. А с оформленной вами гринкой проблем не будет.