ДТП с участием нескольких машин

Как это не прискорбно, но страховая компания в данном случае совершенно права. Действующие правила говорят, что обратиться в свою страховую компанию по прямому урегулированию убытков ОСАГО можно только если в ДТП участвовали два автомобиля. Т.е. в вашем случае необходимо обращаться с страховую компанию виновника. Кстати ехать в Москву скорее всего не придется, у страховой компании в каждом регионе должно быть представительства, возможно это даже будет другая компания. Для того, чтобы это выяснить, необходимо зайти на сайт страховщика в раздел представительства в регионах и выяснить где располагается ближайший к вам офис.

Как вариант, запросить у страховой  компании (письменно) заверенные копии выплатного дела, либо обратиться за копиями в ГАИ, а также указать в страховой виновника, что изначально документы были поданы в страховую такую-то и выдать их копии вам отказались (т.к. в ГАИ не будет, например, Извещения о ДТП, которое вы составляли с другими водителями).